Problemas de fuerzas en planos inclinados

La aceleración con la que se mueve cada masa, debe depender de la relación entre ambas masas (m₁/m₂) así como del ángulo del plano inclinado y del valor de g. Cuando la masa del plano inclinado sea mucho mayor que m₁ (caso que normalmente tratamos suponiendo el plano inclinado ligado a Tierra) la aceleración de m₁ dependerá sólo del ángulo del plano y de g.

Considerando los ejes “x” e “y” de la figura, las fuerzas antes mencionadas serán:

Sobre m₁ actúan y ₁Þ ( 0, -P₁)

Sobre m₂ actúa ₂Þ ( F_2x, F_2y)

 Como por el principio de acción - relación  se debe cumplir a lo largo del eje x debe cumplirse: de donde si la masa m  se desliza sobre el plano, se debe cumplir la siguiente relación geométrica que podremos ver en el dibujo.

considerando la relación x1 Siendo x1 el espacio recorrido por m1a lo largo del eje x, y x2 el espacio recorrido por m2 (plano inclinado) a lo largo del eje x . Llamaremos y1al espacio recorrido por m1 a lo largo del eje y. Como los movimientos a lo largo de estos ejes serán uniformemente acelerados, considerando los valores absolutos de las aceleraciones, podemos establecer:

obtenida anteriormente entre a_2x y a_1x podemos escribir:

de donde obtenemos:

Considerando las fuerzas que actúan sobre la masa m₁ a lo largo del eje y , se debe cumplir:

P – F_1y = m₁a_1y como se debe cumplir al ser siempre F₁ perpendicular al plano inclinado.

P

F1y

F1x

F2x

De aquí:

de donde:

con lo que obtenemos la siguiente relación entre las aceleraciones:

como vimos anteriormente que

substituyendo, obtenemos para los valores absolutos de aceleraciones de m₁ lo siguiente:

En el sistema de coordenadas xy establecido, la a_1x será positiva y, a_1y será negativa .

Siendo la aceleración del plano inclinado m₂ la siguiente:

Para analizar los resultados obtenidos, consideremos las situaciones extremas siguientes:

Si el ángulo del plano inclinado es cero a =0 entonces debe ser a_1x=0 , a_1y=0 y a₂=0 .Para valores muy pequeños de ángulo, la expresión obtenida nos da valores muy pequeños de aceleraciones.

Si el ángulo del plano es 90º , entonces debe ser a_1x=0 , a_1y= g y a₂= 0. Para valores de ángulo grandes ( próximos a 90) las expresiones obtenidas nos dan valores muy pequeños para las aceleraciones a lo largo del eje x , y próxima a g el caso de la aceleración a lo largo del eje y.
Si la masa del plano inclinado es mucho mayor que la masa que cae , prácticamente tendremos un clásico plano inclinado (que consideramos unido a tierra y por tanto con una masa enorme) entonces dicho plano no acelera y sólo acelera m₁.
Si m₂>>m₁ y las aceleraciones de m₁ serán:

a_1x=g sena cosa a_1y=-g sen²a a₂= 0

 Las anteriores aceleraciones a lo largo del eje x y a lo largo del eje y dan una aceleración resultante para m₁ de:

Expresión que normalmente utilizamos cuando la masa del plano es enorme (está "ligado" a tierra) y, m₁ desliza sin rozamiento.
Como hemos visto, en la resolución de este problema, sólo hemos utilizado el principio de acción-reacción y la ecuación fundamental de la dinámica del punto, así como las relaciones geométricas correspondientes que rápidamente se deducen del dibujo del sistema.
En eAPPLET siguiente planteamos la simulación del movimiento estudiado con la posibilidad de ir cambiando los

valores del ángulo del plano inclinado así como los valores de masa del bloque ( m₁) y de la masa del plano ( m₂) para ver su influencia en el movimiento resultante.

Sin ir variando el ángulo del plano, podemos ir aumentando la masa del plano m₂, hasta que m₁/m₂ sea muy pequeño , viendo entonces el movimiento de m₁ sobre el plano , el cual no se mueve prácticamente, dada su gran masa, por lo que parece estar "ligado a tierra". Esta situación es la planteada en la mayoría de los problemas de planos inclinados, siendo entonces a₁ = g sen (ángulo del plano) y a₂= 0.

La variación del movimiento con el ángulo del plano podemos abordarla cambiando los valores para dicho ángulo, aumentándolos o disminuyéndolos, manteniendo constante la relación m₁/m₂ . Para valores grandes del ángulo ( 70º ) podemos observar que la aceleración del bloque tiene una componente "y" muy próxima a 9.8, siendo los valores de las componentes "x" de ambas aceleraciones prácticamente despreciables.